起因是今天做的一道数学题
丁同仁《常微分方程教程》习题2.5的第四题：
证明定理2.6及其逆定理：在定理2.6的假定下，若μ1是微分方程的另外一个积分因子，则μ1必可表示为μ1=μg(Φ)的形式，其中函数g和Φ的意义与在定理2.6中相同。（定理2.6如下：若μ=μ(x,y)是方程(2.55)的一个积分因子，s.t.μP(x,y)dx+μQ(x,y)dy=dΦ(x,y)，则μ(x,y)g(Φ(x,y))也是(2.55)的一个积分因子，其中g是任意一个可微的非零函数），方程(2.55)为P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0)。
参考答案如下：
由于μ(Pdx+Qdy)=dΦ，所以μg(Φ)(Pdx+Qdy)=d∫g(Φ)dΦ。由此可证定理2.6。再设μ1(Pdx+Qdy)=dψ,则Jacobi行列式D[ψ,Φ]\D[x,y]≡0，从而ψ与Φ函数相关，因此μ1/μ=dψ/dΦ可表示为Φ的函数，定理2.6之逆得证。
首先有有关于Jacobian矩阵和Hessian矩阵的介绍参考资料1，参考资料2。
前半部分很容易证明，但后半部分证明我看得有点懵。然而细细思
索后发现其实很简单，或者说是这答案写得逻辑性比较差（找借口），思路捋清如下：
①设μ1(Pdx+Qdy)=dψ，则有∂ψ/∂x=μ1P；∂ψ/∂y=μ1Q；∂Φ/∂x=μP；∂Φ/∂y=μQ。经过计算可证上面提到的Jacobian行列式为0（这一步貌似可以省略，因为用第一个方程除第三个，第二个方程除第四个，很容易得到μ1/μ=dψ/dΦ）。
②显然，dψ/dΦ与Φ有关，不妨记为g(Φ(x,y))，并且显然g可微。于是μ1/μ=g(Φ(x,y))，即μ1=μg(Φ)。