[概率论]MontyHall问题(三门问题)&蒙特卡洛初步

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参考链接1，参考链接2

MontyHall问题

问题描述如下：

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参赛者面前有三扇关闭着的门，其中一扇的后面是一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，
而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，主持人会开启剩
下两扇门中的一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要更换选择，选另一扇仍然关着的门。

首先给出结论：更换的话选到车的概率是2/3，不更换选中车的概率是1/3。用python代码模拟：

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import random

def initDoor():
    door=[]
    carid=random.randint(1,3)
    for i in range(0,3):
        if i == (carid-1):
            door.insert(i,"car")
        else:
            door.insert(i,"goat")
    return door

def hostchoose(doorid,playerchoice,carid):
    doorid.remove(carid)
    if playerchoice == carid:
        hostchoice = random.choice(doorid)
    else:
        doorid.remove(playerchoice)
        hostchoice = doorid[0]
    return hostchoice


def play(choice,change,door):
    doorid=[1,2,3]
    dooridd=doorid.copy()

    carid = door.index("car")+1
    hostchoice = hostchoose(doorid,choice,carid)

    if change == 1:
        dooridd.remove(hostchoice)
        dooridd.remove(choice)
        newchoice = dooridd[0]
    else:
        newchoice = choice

    if newchoice == carid:
        return 1
    else:
        return 0

if __name__=="__main__":
    win = 0
    for i in range(10000):
        door = initDoor()
        choice = random.randint(1,3)
        win = win + play(choice,0,door)
    print(win)

运行结果与上面的结论相符合。
借鉴了文章开头的两个参考链接，对此结论有如下解释：

穷举出所有可能情况，假设玩家选择1号门，那么主持人就要从2、3号门中打开有🐏的门，车在1、2、3号门中等可能：

情况 1号门 2号门 3号门 换 不换
1 car goat goat 输 赢
2 goat car goat 赢 输
3 goat goat car 赢 输

可见改变选择选中车的概率是2/3；不改变选择，选中车的概率是1/3。
从上表可以逆向思考：如果刚开始选到车，更换选择后必选不到；如果开始没有选到车，更换选择后必选到。所以更换选择后选到车的概率其实就是刚开始没有选到车的概率，即为2/3。

网上争来争去（包括这个问题刚刚出来时有很多类似的争论），归根到底还是：为什么从剩下的两扇门中选中车的概率不是1/2？换言之，假设在主持人打开一扇“羊门”后，找一个对之前发生的事都不知情的路人在剩下的两扇门中选择，显然选中车的概率是1/2，并不是2/3。这就是蒙特霍尔悖论。问题出在哪里呢？
我认为，无论是之前的玩家，还是后来找来的路人，虽然它们看上去都是要在两个门中做出选择，但事实上两者进行的并不是同一个实验——因为两者掌握的信息并不对等。后者不必分析，显然是fifty fifty；对于前者，一开始选到车的概率是1/3，主持人打开“羊门”并不会改变这个概率（即选到车与主持人开门两个事件是相互独立的）。
仍然假设玩家选择一号门，不妨设事件A：车在一号门后面。事件B：主持人选到“羊门”。则显然有P(A)=1/3，P(B)=1，并且A、B相互独立，则由独立事件性质
$$
P(A|B)=P(A)=1/3
$$
即不改变选择选到车的概率仍是1/3。类似的问题还有很多，举一个极端情况，例如100 0000张彩票有1张有奖，你选择一张后，去掉剩余彩票中的99 9998张无奖彩票，问是否换成另外一张，答案显然是更换，此时你中奖概率高达0.999999，显然不是1/2。

蒙特卡洛初步

蒙特卡洛方法是一种基于“随机数”的计算方法，以求Π为例。考虑边长为2（图中是1）的正方形的内切圆

随机抛一点下去，落入内切圆中的概率显然是
$$
P=\frac{\pi}{4}
$$
所以
$$
\pi =4P
$$
只要求得P即可，可用python模拟随机落点的行为计算：

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import random

def calPi(count):
    k = 0
    for i in range(count):
        x = random.uniform(-1,1)
        y = random.uniform(-1,1)
        if x**2+y**2<1:
            k=k+1
    return float(4*k/count)

if __name__=="__main__":
    print(calPi(10000000))

模拟1000 0000次的结果是3.14194。

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